Baris dan Deret

Baris dan Deret

 Baris
adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh barisan:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 5, 8, 11, 14, 17
13, 11, 9, 7, 5, 3
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
2, 4, 8, 16, 32, 64

Deret
adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.
Contoh deret:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

Deret bisa juga dinyatakan dalam notasi sigma. Berikut adalah sifat-sifat dari notasi sigma.

Deret Pangkat Bilangan Asli

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut dinamakan beda, ditulis b. 
b=Un-Un-1

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika 
Un = a + (n - 1)b 
keterangan: 
Un: suku ke-n 
a: suku pertama 
b: beda 
n: banyak suku

Suku Tengah Barisan Aritmatika 
Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut. 
Ut = 1/2(a + Un) 
dengan t = 1/2(n+1)

Sisipan pada Barisan Aritmatika 
Jika antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah suku sehingga membentuk barisan aritmatika baru maka beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku akan berubah. Beda dari barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku adalah sebagai berikut. 
b' = b/(k + 1) 
keterangan: 
b': beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku 
k: banyak suku yang disisipkan 
Banyak suku dari barisan aritmatika yang disisipkan k buah suku juga akan berubah, menjadi seperti berikut. 
n' = n + (n - 1)k 
keterangan: 
n': banyak suku barisan aritmatika baru 
n: banyak suku barisan aritmatika lama

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Deret aritmatika untuk n suku pertama dinotasikan dengan Sn dan memiliki rumus sebagai berikut. 
Sn = n/2(a + un) 
atau 
Sn = n/2(2a + (n - 1)b) 
keterangan: 
Sn: jumlah n suku pertama 
a: suku pertama 
Un: suku ke-n atau suku terakhir 
b: beda 
n: banyak suku

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan dengan pembanding antara dua suku berurutan selalu tetap. Pembanding dua suku berurutan tersebut dinamakan rasio, ditulis r.


Rumus suku ke-n Barisan Geometri
Un = arn - 1 
keterangan: 
Un: suku ke-n 
a: suku pertama 
r: rasio 
n: banyak suku

Suku Tengah Barisan Geometri
Jika suatu barisan geometri mempunyai banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut.

Sisipan pada Barisan Geometri

Jika antara dua suku barisan geometri disisipkan k buah suku sehingga membentuk barisan geometri baru maka rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku akan berubah. Rasio dari barisan geometri setelah disisipkan k buah suku adalah sebagai berikut.
keterangan: 
Sn: jumlah n suku pertama 
a: suku pertama 
r: rasio 
n: banyak suku

Deret Geometri Tah Hingga

Barisan geometri dengan rasio antara -1 dan 1 disebut barisan geometri yang konvergen. Deret geometri dari barisan geometri yang konvergen dan banyak suku tak berhingga dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.
keterangan:
a: suku pertama
r: rasio dengan syarat -1<r<1

Hubungan Baris dan Deret

  • Un = Sn - Sn - 1
  • Beda barisan aritmatika dapat diperoleh dari turunan kedua deret aritmatika.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Implisit

Gambar
Definisi Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y). Untuk lebih memahami, perhatikan 5 pembahasan soal di bawah: 1. Turunan pertama dari fungsi implisit (x + 2y)^8 adalah… Penyelesaian: 2. Nyatakan dalam dy/dx, turunan fungsi implisit x³ + 5 ln xy – 3xy^-1 = -4 Penyelesaian: Jika fungsi implisit mengandung unsur trigonometri. 3. Turunan pertama dari fungsi implisit sin xy + xy² + x²y = 1 adalah… Penyelesaian: Jika fungsi implisit berbentuk fungsi pembagian. 4. Turunan pertama fungsi implisit f(x,y) = (y – x²)/(y² – x) adalah… Penyelesaian: ...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi (Lebih dari 1 Variabel)

Gambar
Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan  Parsial Diketahui z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.    Karena  x dan y independen maka :   1.   x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.   2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.   a. Turunan   parsial terhadap  variabel  x     Jika x berubah-ubah dan y tertentu, maka z merupakan fungsi  x , t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap x  sebagai berikut: b. Turunan  parsial terhadap  variabel  y     Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi  y, t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap y sebagai berikut: Fungsi Dua Peubah atau Lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya ...
Baca selengkapnya

Aplikasi Turunan (Garis Singgung)

Gambar
Persamaan Garis Singgung Kurva Definisi Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x 1 , y 1 ) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x 1 ). Sementara itu x 1  dan y 1  memiliki hubungan y 1  = f(x 1 ). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y 1  = m (x – x 1 ). Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan                     y - y 1  = m (x - x 1 ) Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :...
Baca selengkapnya