Turunan Fungsi 1 Variabel

Definisi

Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Jika kita mengatakan bahwa turunan dari  adalah  maka pernyataan itu adalah benar, karena . Tapi, akan salah jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa diferensial dari  adalah , maka pernyataan itu adalah salah. Apabila ingin betulnya, harus seperti ini: 
diferensial dari  adalah  dikalikan dengan diferensial x atau dapat ditulis begini: 
Turunan fungsi f yang dinotasikan sebagai f', merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:
3cd7e662-5f7a-436f-8225-0a719f8ebda4.png


Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)


Jawab:

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

Misalkan:

u = x2 – 4 maka u’ = 2x
v = 2x + 3 maka v’ = 2
maka:

f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4)(2)
f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2x2 – 8
f ‘(x) = 4x2 +  6x  – 8


(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x-2)

Misalkan:
u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v’ = 4
maka:
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:
Jika y = sin x maka y’ = cos x 

Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangen, cotangen, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah

Jika y = tan x maka y’ = sec2x
Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x
Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x
Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk 
y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)

y’ = (cos u)(u’)

y’ = u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:

Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u

Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u
Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u
Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u
Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u
Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.

Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :

1. f(x) = cos (3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)
Jawab:
1. f(x) = cos (3x – 4)
Maka:
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))

f ’(x) = –3.sin(3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)
Maka:
f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)

f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Implisit

Gambar
Definisi Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y). Untuk lebih memahami, perhatikan 5 pembahasan soal di bawah: 1. Turunan pertama dari fungsi implisit (x + 2y)^8 adalah… Penyelesaian: 2. Nyatakan dalam dy/dx, turunan fungsi implisit x³ + 5 ln xy – 3xy^-1 = -4 Penyelesaian: Jika fungsi implisit mengandung unsur trigonometri. 3. Turunan pertama dari fungsi implisit sin xy + xy² + x²y = 1 adalah… Penyelesaian: Jika fungsi implisit berbentuk fungsi pembagian. 4. Turunan pertama fungsi implisit f(x,y) = (y – x²)/(y² – x) adalah… Penyelesaian: ...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi (Lebih dari 1 Variabel)

Gambar
Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan  Parsial Diketahui z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.    Karena  x dan y independen maka :   1.   x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.   2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.   a. Turunan   parsial terhadap  variabel  x     Jika x berubah-ubah dan y tertentu, maka z merupakan fungsi  x , t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap x  sebagai berikut: b. Turunan  parsial terhadap  variabel  y     Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi  y, t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap y sebagai berikut: Fungsi Dua Peubah atau Lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya ...
Baca selengkapnya

Aplikasi Turunan (Garis Singgung)

Gambar
Persamaan Garis Singgung Kurva Definisi Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x 1 , y 1 ) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x 1 ). Sementara itu x 1  dan y 1  memiliki hubungan y 1  = f(x 1 ). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y 1  = m (x – x 1 ). Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan                     y - y 1  = m (x - x 1 ) Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :...
Baca selengkapnya