Aplikasi Turunan (Garis Singgung)

Persamaan Garis Singgung Kurva

 Definisi

 Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m (x – x1).
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
                    y - y1 = m (x - x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan


 Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :


1. Persamaan garis singgung kurva y=
y=2x−3x2 di titik dengan absis 2 adalah

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y= x^2 di titik (-1,1) adalah

3. Persamaan garis yang menyinggung kurva y=x^2 + 2x^2 -5x di titik (1,-2) adalah

C.   MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI (MAXIMIZATION ATAU       

       MINIMIZATION) : A FREE OPTIMUM


 A.   Pengertian dan persyaratan Global maximum atau Global minimum, Relative maximum 
       atau Relaive minimum :

  • Dengan fungsi dari 1 ( satu ) independent variable y= f (x)
  • Dependent variable dari fungsi merupakan the objective function yaitu objek dari maksimisasi ( mazimization ) atau minimisasi ( minimization ).
Mazimization atau minimization menetapkan angka atau bilangan dari independent variables sehingga diperolah dari angka atau nilai the objective function atau dependent tertinggi ( maximum) atau terendah (minimum ). Karena itu, independent variables juga disebut sebagai choice variables.
                                                       
Istilah :
Baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum (diagram di bawah).

lustrasi :
  • Extremums ( titik-titik ekstrim) fungsi y=f(x)
  • Titik E adalah a global ( absolute or free ) maximum, sedangkan titik G adalah local ( relative ) maximum
  • Titik F adalah a global minimum, sedangkan titik D adalah local minimum.
kurva diatas: dimana extremum fungsi  y=f(x)
  • baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum seperti contoh diagram diatas
  • Titik extremum disebut  stationary point. sedangkan angka atau nilai extremum fungsi atau dependent variable atau the objective function disebut a critical value atau statinary value. Selain itu, the slope dari the objective pada titik extermum adalah 0 (nol)
  • Global (absolute) maximum adalah titik atau angka tertinggi dari the objective function atau dependent variable.
  • Sedangkan, global (absolute) minimum merupakan titik atau angka terendah.
  • Relative (local) maximum adalah titik atau angka maximum di sekitar titik itu pada the objective function. Sedangkan, relative (local) minimum adalah titik atau angka minimum di sekitar titik itu pada the objective function.



B.   Persyaratan untuk extremum dan inflection point : Dengan fungsi dari 1 (satu) 

       independent (variable) y = f (x)

  • Catatan :


Titik M dan N pada Diagram 1.(c) di atas, tidak dapat dianggap extremum karena pada kedua titik itu fungsi g = s(u) tidak kontinyu sehingga tidak terdapat derivatif dari fungsi g. Titik infleksi (inflection point) adalah titik dimana tidak terdapat extremum (maximum atau minimum).



C.   Penjelasan inflection point 

       Pada diagram di atas, titik J dan K disebut inflection point karena tanda slope tidak berubah dari  
       sebelum ke sesudah titik J atau K :
  1. Pada digaram 2.(a), walaupun mempunyai fungsi f(x) derivatif pada titik J = 0 atau f∕= 0, yang juga digambarkan dengan slope pada titik J∕ = 0. Tetapi tanda slope atau derivatif f∕ tetap sama positif (slope +) baik sebelum dan sesudah titik J dan J∕. Padahal syarat titik J menjadi extremum, apabila tanda slope berubah dari sebelum ke sesudah titik extremum J. Apabila titik J minimum, maka tanda slope berubah dari negatif untuk sebelum titik J menjadi positif untuk setelah titik J. Atau sebaliknya, apabila titik J.
  2. Pada Diagram 2. (b) di atas, derivatif atau slope fungsi g(x) pada titik K tertinggi maximum (tidak sama dengan 0 (nol)) seperti terlihat pada titik K∕. Tetapi slope atau derivatif atau f∕ s sebelum titik K naik (+) tajam dan setelah titik K tetap naik (+) tetapi dengan melandai atau menurun.



  • Catatan :

  1. Maximum profit pada MR = MC atau slope TR = slope TC
  2. Juga untuk minimum (rugi terbesar) pada MR atau slope TR = slope TC

Agar lebih memahami mengenai materi maksimasi dan minimasi tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini : 

1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi y = x2 + 6x + 9

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = x3 + 3x2 -24x

y=2Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi y = x2 + 6x + 9

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Implisit

Gambar
Definisi Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y). Untuk lebih memahami, perhatikan 5 pembahasan soal di bawah: 1. Turunan pertama dari fungsi implisit (x + 2y)^8 adalah… Penyelesaian: 2. Nyatakan dalam dy/dx, turunan fungsi implisit x³ + 5 ln xy – 3xy^-1 = -4 Penyelesaian: Jika fungsi implisit mengandung unsur trigonometri. 3. Turunan pertama dari fungsi implisit sin xy + xy² + x²y = 1 adalah… Penyelesaian: Jika fungsi implisit berbentuk fungsi pembagian. 4. Turunan pertama fungsi implisit f(x,y) = (y – x²)/(y² – x) adalah… Penyelesaian: ...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi (Lebih dari 1 Variabel)

Gambar
Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan  Parsial Diketahui z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.    Karena  x dan y independen maka :   1.   x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.   2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.   a. Turunan   parsial terhadap  variabel  x     Jika x berubah-ubah dan y tertentu, maka z merupakan fungsi  x , t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap x  sebagai berikut: b. Turunan  parsial terhadap  variabel  y     Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi  y, t urunan  parsial z =  f (x,y) terhadap y sebagai berikut: Fungsi Dua Peubah atau Lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya ...
Baca selengkapnya